分数の計算はできるけど、なぜそうするのかが気になっている人向けの記事です
前の記事で「まず計算ができるようになろう」という話をしました
計算に慣れてきて余裕が出てきたら、今度は「なぜそうなるのか」を考えてみましょう
この記事では、分数の計算でよく浮かぶ5つの疑問に答えていきます
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前の記事
分数・小数が苦手な人が見落としがちなこと｜計算の土台から見直そう
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① なぜ分母が違うと足し算できないのか
を計算してみます
分数を割り算の形に書き直すと、こうなります
ここで、÷□ の部分を（）でくくって整理しようとします
でも、÷2 と ÷3 は□の数字が違うので、そのままではくくれません
くくるためには、÷□ の□を共通の数字にする必要があります
その共通の数字が、最小公倍数です
2と3の最小公倍数は 6 なので、÷6 にそろえます
これで÷□の□がそろったので、()でくくれるようになります
これが通分の意味です
÷□の□を共通にすることで、初めて足し算ができるようになります
ちなみに、小数にして足す方法もあります
1÷2 + 1÷3 = 0.5 + 0.333…
= 0.833…
これは÷□の□を10にして計算しているのと同じです
小数で計算するということは、分母を10（または100、1000…）にそろえて計算しているのと変わりません
② なぜ掛け算は分母どうし・分子どうしをかけるだけでいいのか
を計算してみます
分数を割り算の形に書き直すと、こうなります
掛け算と割り算だけの式は、順番を入れ替えても答えが変わりません
（例：70÷5÷7 = 70÷7÷5 = 2）
これを使って並び替えます
÷5してから÷7するのと、÷35するのは同じ結果になります
（例：70÷5÷7 = 14÷7 = 2、70÷35 = 2）
12は3×4（分子どうしの掛け算）、35は5×7（分母どうしの掛け算）です
足し算のときは÷□の□をそろえないといけないので通分が必要でした
でも掛け算は順番を自由に入れ替えられるので、通分のような手順は必要ありません
③ なぜ割り算は分母と分子をひっくり返すのか
を計算してみます
まず、1を2回かけます
かけても結果は変わりません
つまり
は
と同じ結果になります
これが「割り算は分母と分子をひっくり返して掛け算する」の理由です
④ なぜ約分するのか（しなければいけないのか）
個人的な意見
結論から言うと、約分しなくても答えは間違いではありません
どちらも、同じ大きさの数です
どちらも正解です
では、なぜ約分するのでしょうか
それは、見た人にとって一番わかりやすい分数の状態にするためです
例えば、こんな数字を見比べてみましょう
これらはすべて同じ数です
でも
と書かれていたら、
と同じだとすぐわかりますか？（私はわかりません（￣＾￣））
一番シンプルな形で書かれていれば「これ以上小さくならない」とすぐわかります
見た人が余計な確認をしなくていい状態にするのが約分です
ルールというより、自分以外の人への配慮に近いマナーの話です
一般的な理由
もう少し踏み込んでみます
約分しないままにすると答えが無限に存在してしまうという問題があります
に 1 をかけても値は変わりません
この 1 は
でも何でもいいので、
と、同じ数を表す分数は無限に作れます
約分して一番シンプルな形にするというルールによって、
答えとなる分数をひとつに定めることができます
発展：数字が大きすぎて約分できるかわからない場合
では、この分数は約分できるでしょうか
一般人にはまずわかりません
実はこれは4523で割り切れるのですが、
そんなことはパッと見てわかるものではありません
私が「約分はマナー」と言った理由はこれです
約分したくても無理なときは無理なので、しょうがない場合もあります
なので何かの計算結果でこのような分数が出てきた場合、
私なら「約分しなさい」とは言いません
（「約分できなかった？」とは聞きます。調べればネットに確認ツールがあります）
（入試問題なら何らかの方法があるはずなので、解答で確認してその都度覚えれば十分です）
ただし約分できなかった場合でも、もっとわかりやすい形で、
イコールで書いておいてほしいとは伝えます
それが小数です
小数で表されていたら、約分の有無に関わらず同じ数字が出てきます
4523で約分した場合
小数で表されていれば、一目ではよくわからないこの分数も
「だいたい66%のことなんだな」とすぐに伝わります
⑤ 分母が違うのに、なぜ大きさが比べられるのか
はどちらが大きいでしょうか
分母が違う状態では、そのまま比べることはできません
①で説明した通り、÷□の□が違う状態では比べる基準がバラバラだからです
分母をそろえて初めて比べられるようになります
分母がそろったので、比べられるようになりました
分子の 3 と 2 を比べます
なので、
です
小数にして比べる方法も、分母を10や100にそろえているのと同じです
まとめ
5つの疑問をまとめます
① 分母が違うと足し算できない
→ ÷□の□が違うと()でくくれないから。最小公倍数に揃えることでくくれるようになる
② 掛け算は分母どうし・分子どうしをかけるだけでいい
→ 掛け算は順番を入れ替えられるので、通分なしで計算できるから
③ 割り算はひっくり返して掛ける
→ 1を2回かけて変形すると、割り算が掛け算に変わるから
④ 約分する理由
→ 必須ではないが、見た人がすぐわかるシンプルな形にするマナー
⑤ 分母が違っても大きさが比べられる
→ 分母をそろえることで比べられるようになる
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