最大公約数って、難しいですよね。
私も初めて見たときは、正直よくわかりませんでした。
きちんと理解できるようになったのは、中学生になって素因数分解を習ってからです。
なので、小学生のうちはできなくても気にする必要はありません。
ただ、まったく触れないままにしておくのも少し気が引けるかもしれません。
そこでこの記事では、「約数とは何か」という基本から始めます。
そして、素因数分解を使って最大公約数を見つける方法まで、
小学生でもイメージしやすいようになるべく簡単に説明していこうと思います。
約数と公約数を理解する
約数とは
まずは(12, 18)で考えてみましょう。
なので、12の場合は
18の場合は
となります。
公約数とは
次は公約数を考えます。
2つを見比べると「1, 2, 3, 6」が共通していますね。
なので(12, 18)の公約数は
となります。
最大公約数とは
最後に最大公約数です。
よって、6が最大公約数になります。
大きい数ではどうする？（48, 72）の場合
では一目見ただけだと約数が多くて、
公約数がすぐにイメージできない場合はどうすればいいでしょうか。
今回は(48, 72)を例に考えていきます。
約数を書いてみる
この場合も同じように約数を書きだしていけば、答えを見つけることは可能です。
しかしこれを見落としなく全て書き出すのは少々不安が残ります。
それに96や144のように数字が大きくなっても同じように書きだすことはかなり大変です。
そこで今回は「素因数分解」という手法を使っていきます。
素因数分解について
「素因数分解」と名前は難しそうに聞こえますが、そんなに身構えるほどではありません。
具体的には
と無限に続いていきます。
小学生であれば
素数とは「2, 3, 5, 7」のことだと覚えてしまって大丈夫です。
正しい意味は中学生で習うので心配いりません。
また、素因数分解は「素数の掛け算のみでその数字を表しましょう」という意味でしたね。
ある数字を素数の掛け算で表すには、その数字を素数で割っていけばいいです。
そうすれば
になるからです。
これを繰り返していくのが素因数分解です。
48を素因数分解してみる
では実際にやってみましょう
手順(1)：48を2で割る
手順(2)：24を2で割る
補足
②がわかったので①は
③にすることができました。
この調子で続けて、48を素数だけの掛け算で表してみましょう。
手順(3)：12を2で割る
手順(4)：6を2で割る
3は素数なのでこれ以上割ることはできません。
これで素因数分解に必要な計算は全てできました。
手順(5)：48を素数の掛け算で表す
では④、⑤も捕捉のようにして、48を素数の掛け算で表してみましょう。
④がわかったから③は
⑤がわかったから⑥は
となって、48を素数の掛け算で表すことができました。
補足
⑦のように「×2」が連なっていると、
- 長い
- 何個あるの？
と思いませんでしたか？
なので今回は
と指数を使って表しましょう。
指数が何なの？と思った方は「cm2」を思い出してください。
あれと同じです。
右上の小さい数字は、「くっついている元の数字や単位がその数だけあるよ」という意味です。
そして、この右上の小さい数字のことを指数といいます。
面積の「平方センチメートル(cm2)」や体積の「立方センチメートル(cm3)」も同じ意味です。
また3は1つしかないので31と書きそうになりますが、
1つしかないのは見ればわかるので、省略していいことになっています。
72を素因数分解してみる
では、72も同じように素因数分解してみましょう。
72を2で割って
36を2で割って
18を2で割って
9を3で割って
⑨⑩⑪⑫より
これで48と72をそれぞれ素因数分解できました。
比較してみましょう。
⑧、⑬より
公約数を求める
では、ここから公約数を求めていきます。
この2つを比較すると
合計で3が1つ、2が3つ共通していますね。
まず、2が1つ共通しているので、
は公約数です。
3も1つ共通しているので、
も公約数です。
2が1つ、3が1つ共通しているので、
となり、6も公約数です。
次に2が2つ共通しているので、
となって、4も公約数です。
2が2つ、3が1つも共通しているので
となり、12も公約数です。
2が3つ共通しているので、
となって、8も公約数です。
2が3つ、3が1つ共通しているので、
で24も公約数です。
これで公約数が全て出せました。
表にすると以下のようになります。
そして最大公約数は、公約数の一番大きい数字です。
それは共通している素数全てを掛け合わせた数字のことなので
で24が最大公約数と求めることができます。
いかがでしたか？一旦手順をまとめます。
この方法がスムーズにできれば、もう最大公約数で悩むことはほとんど無くなるはずです。
実際に問題を解いて、手順を確認してみてください。
難しめの問題ですが、ここまでが理解できていれば解くことができるはずです。
問題演習：最大公約数を求めよ (105, 280)
最大公約数を求めよ (105, 280)
解答
手順(1)：105を素因数分解する
105を5で割って
となる。
21を3で割って
となる。
よって、①、②より
となる。
手順(2)：280を素因数分解する
280を5で割って
となる。
56を2で割って
となる。
28を2で割って
となる。
14を2で割って
となる。
よって、④、⑤、⑥、⑦より
となる。
手順(3)：共通している素数を比較する
共通してるのは5が1つ、7が1つだとわかった。
手順(4)：公約数を求める
5が1つの場合
7が1つの場合
5が1つ、7が1つの場合
よって公約数は、5、7、35だとわかった。
最大公約数を求める
手順(4)より、公約数の最大値は35である。
よって、最大公約数は35になる。
答え 35
まとめ
どうでしたか？
「約数とは何か」から始めて
「素因数分解を用いて最大公約数を求める」までやってきました。
最大公約数は中学知識がないとしっかり理解することが難しい分野です。
特に素因数分解を初めて知ったという場合は、
1度で理解するのは難しかったでしょう。
ぜひ、よく復習して理解を深めていってください。
もし「もっと問題を解きたい！」と思った方は、
動画形式で問題を作ったので、やってみてもらえると嬉しく思います。
素因数分解を使って求めたいときは、
その都度動画を止めて手を動かしてもらえるとなお良いです。
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
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